15-3.Trigonometric function

15-3. Trigonometric function

1. Trigonometric function of the same angle	sin²α＋cos²α＝1	sin α * cosec α＝1
	sec²α－tan²α＝1	cos α * sec α＝1
	cosec²α－cot²α＝1	tan α * cot α＝1
	sin α / cos α＝tan α	cos α / sin α＝cot α
2. Representing one trigonometric function with another trigonometric function (of the same angle) (The radicals of these formulas must be preceded by a "+" or "-" sign depending on which quadrant angle α is.)	sin α ＝ (1－cos²α)^0.5 　　　＝ tan α /(1＋tan²α)^0.5 　　　＝ 1 / (1＋cot²α)^0.5 　　　＝ (sec²α－1)^0.5 / sec α 　　　＝ 1 / cosec α	tan α ＝ sin α / (1－sin²α)^0.5 　　　＝ (1－cos²α)^0.5 / cos α 　　　＝ 1 / cot α 　　　＝ (sec²α－1)^0.5 　　　＝ 1 / (cosec²α－1)^0.5
	cos α ＝ (1－sin²α)^0.5 　　　＝ 1 /(1＋tan²α)^0.5 　　　＝ cot α / (1＋cot²α)^0.5 　　　＝ 1 / sec α 　　　＝ (cosec²α－1)^0.5 / cosec α	cot α ＝ (1－sin²α)^0.5 / sin α 　　　＝ cos α / (1－cos²α)^0.5 　　　＝ 1 / tan α 　　　＝ 1 / (sec²α－1)^0.5 　　　＝ (cosec²α－1)^0.5
3. Trigonometric function of sum and difference of angles (addition theorem)	sin (α±β) ＝ sin α cos β ± cos α sin β
	cos (α＋β) ＝ cos α cos β － sin α sin β
	cos (α－β) ＝ cos α cos β ＋ sin α sin β
	tan (α＋β) ＝ (tan α ＋ tan β) / (1 － tan α tan β)
	tan (α－β) ＝ (tan α － tan β) / (1 ＋ tan α tan β)
	cot (α＋β) ＝ [(cot α cot β) － 1] / (cot β ＋ cot α)
	cot (α－β) ＝ [(cot α cot β) ＋ 1] / (cot β － cot α)
	sin (α＋β＋γ) ＝ sin α cos β cos γ ＋ cos α sin β cos γ ＋ cos α cos β sin γ － sin α sin β sin γ
	cos (α＋β＋γ) ＝ cos α cos β cos γ － sin α sin β cos γ － sin α cos β sin γ － cos α sin β sin γ
4. Double angle trigonometric function	sin 2α ＝ 2sin α cos α	cos 2α ＝ cos² α － sin²α
	sin 3α ＝ 3sin α － 4sin³α	cos 3α ＝ 4cos³ α － 3cos α
	sin 4α ＝ 8cos³ α sin α － 4cos α sin α	cos 4α ＝ 8cos⁴ α － 8cos² α ＋ 1
	tan 2α ＝ 2tan α /(1－tan² α)
	tan 3α ＝ (3tan α － tan³ α) / (1－3tan² α)
	tan 4α ＝ (4tan α － 4tan³ α) / (1－6tan² α ＋ tan⁴ α)
	cot 2α ＝ (cot² α － 1) /(2cot α)
	cot 3α ＝ (cot³ α － 3cot α) / (3cot² α － 1)
	cot 4α ＝ (cot⁴ α － 6cot² α ＋ 1) / (4cot³ α － 4cot α)
5.Half-width trigonometric function	sin (α/2) ＝ [(1 － cos α) / 2]^0.5
	cos (α/2) ＝ [(1 ＋ cos α) / 2]^0.5
	tan (α/2) ＝ [(1 － cos α) / (1＋cos α)]^0.5 ＝ (1 － cos α) / sin α ＝ sin α / (1 ＋ cos α)
	cot (α/2) ＝ [(1 ＋ cos α) / (1－cos α)]^0.5 ＝ (1 ＋ cos α) / sin α ＝ sin α / (1 － cos α)
6. Sum and difference of trigonometric functions	sin α ＋ sin β ＝ 2sin[(α ＋ β)/2] * cos[(α－β)/2]
	sin α － sin β ＝ 2cos[(α ＋ β)/2] * sin[(α－β)/2]
	cos α ＋ cos β ＝ 2cos[(α ＋ β)/2] * cos[(α－β)/2]
	cos α － cos β ＝ -2sin[(α ＋ β)/2] * sin[(α － β)/2]
	tan α ± tan β ＝ sin (α ± β) / (cos α cos β)
	cot α ± cot β ＝ ±sin (α ± β) / (sin α sin β)
	tan α ＋ cot β ＝ cos (α － β) / (cos α sin β)
	cot α － tan β ＝ cos (α ＋ β) / (sin α cos β)
7. Product of trigonometric functions	sin α sin β ＝ [cos(α － β) － cos(α ＋ β)] / 2
	cos α cos β ＝ [cos(α － β) ＋ cos(α ＋ β)] / 2
	sin α cos β ＝ [sin(α － β) ＋ sin(α ＋ β)] / 2
	sin α sin β sinγ ＝ [sin(α ＋ β － γ) ＋ sin(β ＋ γ － α) ＋ sin(γ ＋ α － β) － sin(α ＋ β ＋ γ)] / 4
	sin α cos β cosγ ＝ [sin(α ＋ β － γ) － sin(β ＋ γ － α) ＋ sin(γ ＋ α － β) － sin(α ＋ β ＋ γ)] / 4
	sin α sin β cosγ ＝ [-cos(α ＋ β － γ) ＋ cos(β ＋ γ － α) ＋ cos(γ ＋ α － β) ＋ cos(α ＋ β ＋ γ)] / 4
	cos α cos β cosγ ＝ [cos(α ＋ β － γ) ＋ cos(β ＋ γ － α) ＋ cos(γ ＋ α － β) ＋ cos(α ＋ β ＋ γ)] / 4
8. Trigonometric exponentiation	sin²α ＝ (1 － cos2α) / 2	cos²α ＝ (1 ＋ cos2α) / 2
	sin³α ＝ (3sinα － sin3α) / 4	cos³α ＝ (cos3α ＋ 3cosα) / 4
	sin⁴α ＝ (cos4α － 4cos2α＋ 3) / 8	cos⁴α ＝ (cos4α ＋ 4cos2α＋ 3) / 8
References: "Basic Mathematics Handbook" (translated by Toshio Miyamoto and Nobuyuki Matsuda) Algebra and Geometry, page 170, quoted from the basic formula of trigonometry.